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相対性理論(2)

 ( 議論掲示板 )
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凡人 ★eJER71w7mO_PYk

哲学掲示板から論議掲示板に移動して、
http://mb2.jp/_tetsugaku/650.html
の続スレを作成しましたので、相対性理論についてご意見が有る方は、ご参加をお願いします。

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凡人 ★eJER71w7mO_SsI

ここで、『全体性と内蔵秩序』(David J. Bohm著、井上忠、佐野正博、伊藤笏康訳、青土社)の翻訳者の一人である、佐野正博先生の「マックスウェル電磁気学(古典電磁気学)における光速度の「不変」性・・・特殊相対性理論の歴史的形成の理論的文脈」に記されている、マクスウェルの電磁方程式から光速度不変性を導出する方法を再度紹介させていただきます。
マクスウェルの電磁方程式はrotE=-∂B/∂t、rotH=i+∂D/∂t、divD=ρ、divB=0ですが、真空の透磁率をμ0、真空の誘電率をε0とすると、D=ε0E、B=μ0Hとなので、rotE=-∂B/∂t=-μ0∂H/∂tとなり、両辺にrotを作用させると、rot(rotE)=rot(-μ0∂H/∂t)=-μ0∂(rotH)/∂tとなります。
そして、rot(rot)=-∇^2なので、rot(rotE)=-∇^2E=-μ0∂(rotH)/∂tとなり、真空中ではi=0なので、rotH=i+∂D/∂t=ε0∂E/∂tとなり、結局-rot(rotE)=∇^2E=μ0ε0∂^2E/∂t^2となります。
光速度をcとした時の、電場の波動方程式は∇^2E=(1/c^2)∂^2E/∂t^2と見做せる為、∇^2E=μ0ε0∂^2E/∂t^2と対比するとμ0ε0=1/c^2となり、c=1/√(μ0ε0)という結論を得ます。
で μ0やε0は任意の慣性系で一定である仮定すると、cも任意の慣性系で一定であると結論付ける事が出来ます。

2ヶ月前 No.21

凡人 ★eJER71w7mO_SsI

済みませんが、 >>15

>v^2=E^2*(1-v^2/c^2)/(mc)^2-c^2*(1-v^2/c^2)

>v^2=E^2/(mc)^2-E^2v^2/(mc^2)^2-c^2*(1-v^2/c^2)

>v^2=E^2/(mc)^2-E^2v^2/(mc^2)^2-c^2+v^2

>0=E^2/(mc)^2-E^2v^2/(mc^2)^2-c^2

>E^2v^2/(mc^2)^2=E^2/(mc)^2-c^2

は、さし当り
>v^2=E^2/(mc)^2-E^2v^2/(m^2c^4)-c^2*(1-v^2/c^2)

>v^2=E^2/(mc)^2-E^2v^2/(mc^2c^4-c^2+v^2

>0=E^2/(mc)^2-E^2v^2/(m^2^c^4)-c^2

>E^2v^2/(m^2c^4)=E^2/(mc)^2-c^2

に訂正させていただきますが、まだ誤りがあるかも知れないので、ご注意ください。

2ヶ月前 No.22

凡人 ★eJER71w7mO_SsI

度々済みませんが、 >>22 の訂正は不要な訂正でした。

2ヶ月前 No.23

凡人 ★eJER71w7mO_SsI

I'd like you to check formulas in >>17-18 .

2ヶ月前 No.24

凡人 ★eJER71w7mO_SsI

>>15

>γ=1/√(1-c^2/v^2)から、


>γ=1/√(1-v^2/c^2)から、

に訂正させていただきます。

2ヶ月前 No.25

凡人 ★eJER71w7mO_SsI

エーレンフェストのパラドックスの解決案については、 >>11,12,13,14,17,18,19,20 をご覧ください。

2ヶ月前 No.26

凡人 ★eJER71w7mO_SsI

度々済みませんが、 >>17 の2番目の

>dy'/dt=vとおくと、


>dy'/d't=vとおくと、

に訂正させていただきます。

2ヶ月前 No.27

宿題 ★eM1n2yJmTo_sNF

凡人さん

>>15 の虚数の質量を持った物質

知恵袋によると

相対性理論が正しくて、タキオンが存在して、エネルギーと運動量が実数ならば、タキオンの質量は虚数になります。
タキオンの質量が虚数でないならば可能性として、
相対論がこの範囲では間違っている
タキオンは存在しない
タキオンのエネルギーか運動量は実数でない
が考えられます。


虚数の質量ってあると思いますか?

2ヶ月前 No.28

凡人 ★eJER71w7mO_SsI

>>4

>横光ドップラー効果


>横ドップラー効果

に訂正させていただきます。

2ヶ月前 No.29

凡人 ★eJER71w7mO_SsI

>>1

>横光ドップラー効果


>横ドップラー効果

に訂正させていただきます。

2ヶ月前 No.30

凡人 ★eJER71w7mO_SsI

>>1

>γ(1-(v/c)cosθ0)/ν=1/ν'となるので、ν'=ν(1-(v/c)cosθ0)/γという横光ドップラー効果の公式が導出されます。


>γ(1-(v/c)cosθ0)/ν=1/ν'となるので、ν'=ν/(1-(v/c)cosθ0)γという横ドップラー効果も導ける公式が導出されます。

に訂正させていただきます。

2ヶ月前 No.31

凡人 ★eJER71w7mO_SsI

やはり、エーレンフェストのパラドックスの解決案については、 >>11,12,13,14,17,18,19,20,27 をご覧ください。

2ヶ月前 No.32

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

やはり、エーレンフェストのパラドックスの解決案については、 >>18,19,20 をご覧ください。

1ヶ月前 No.33

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

ところで、ベルの二台のロケットのパラドックスについてネットで情報がいろいろ出ているが、どれも分かり難く、誤りもが含まれている情報が多々あるようなので、私の方でまとめて見たいと思います。

パラドックスの内容:
x軸上に一定間隔離れた位置に2台のロケットが静止系Sに対して静止しており、S系から見て2台のロケットとも同時にX軸上の同一方向に同一加速度で発進した場合に、同一の加速度で世界線上での距離は一定であるにも関わらず、2台のロケットから見ると、お互いの間隔が広がって行く事になるというのがパラドックスの内容です。

2台のロケットの間隔が広がって行く理由:
ロケットは静止系Sに対して相対速度=vを持つため、ローレンツ変換を行うと、ロケットが両方ともX軸上の右側に加速するとすると、同時刻線が√(1-v^2/c^2)だけ右肩上がりに傾きます。
すると、加速後の同時刻を比較すると、x軸上の右側のロケットの方が、もう一台のロケットより遅くなる為、二台のロケットをロケットの系から見ると、右側のロケットの系の方が時刻が進んでいる事になります。
そして、右側のロケットの系の方が時刻が進んでいる事によって、左側のロケットより速度が増しているため、二台のロケットの間隔が広がる事になります。

2台のロケットの間隔の計算方法の概略:
加速度が一定の場合は、 >>8,9,10 で計算した、u'(t')=ctanh(at'/c+C)を利用し、ロケットの進行距離=∫[0->t]ctanh(at/c)dt=(c^2/a)log(2cosh(at/c))とし、ローレンツ変換を使って2台のロケットの同時刻をそれぞれ求めて、同一時刻上の2台のロケット間の距離を求めます。

1ヶ月前 No.34

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>34

>同時刻線が√(1-v^2/c^2)だけ右肩上がりに傾きます。

は誤りだったため、さし当り、
>ロケットの速度に応じて右肩上がりになります。

に訂正させていただきます。

1ヶ月前 No.35

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>34

>同時刻線が√(1-v^2/c^2)だけ右肩上がりに傾きます。

は、やはり、
>同時刻線がv/c^2だけ右肩上がりに傾きます。

に訂正させていただきます。

1ヶ月前 No.36

華和 ★Tablet=9KwTw6E8af

相対性理論が正しければタイムマシンが可能である。
しかし、タイムパラドックスの存在によりタイムマシンは否定される。
今、物理学者は相対性理論が間違いである証拠を見つけようとしている。
その鍵は量子力学にあるようだ。(-.-)y-~
ちょっと博士風に書いてみた。(^^;

1ヶ月前 No.37

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

https://www.google.com/search?q=%22%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%80%85%E3%81%AE%E9%96%93%E9%81%95%E3%81%A3%E3%81%A6%E3%81%84%E3%82%8B%E5%B8%B8%E8%AD%98+%EF%BC%88%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA%EF%BC%96%E6%94%B9%E8%A8%82%E7%89%88%EF%BC%89%22に対して書いた反論が相対論の初心者にとって有意義だと思ったので、文章を若干修正してこちらにも転載させていただきます。

相対論の矛盾を指摘する為には、この問題を相対論の枠組みでキチンと検討して指摘しなければならないのですが、この問題ではAB系からみてCD系の時間が速く進むため、光がD'に到達した時刻は、AB系からみると光がBに到達した時刻より遅い時刻として観測されるので、CD系の光が光速を超えるという事は無い事が、ローレンツ変換による計算で確認出来るはずです。
また、ロケットの速さと光の速さを相対論の公式によって加算しても、光の速さを超えない事が分かりますが、その公式の導出法は、 >>7 をご覧ください。
尚、

>光がD'に到達した時刻は、AB系からみると光がBに到達した時刻より遅い時刻として観測されるので、

について、ローレンツ変換で確認して見ますが、BとDでx軸方向の座標が同一になる時刻をAB系のBでt=0、CD系のDでt'=0とし、その時刻に両系の光が発射されるとした場合、AB系の光がBに到着する時刻はt=AB/cとなりますので、y軸方向の距離を無視して、CD系のDの時刻に対応するt=AB/cの時刻をローレンツ変換で求めると、t'=γ(AB/c-(AB/c)(v^2/c^2))=(AB/c)γ(1-v^2/c^2)=(AB/c)γ/γ^2=(AB/c)/γとなり、v<cならばγ<1ですから、AB系のBでt=AB/cの時にCD系のDはt'<AB/cなので、光はDに未だ届いていない事になります。

1ヶ月前 No.38

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>38

>v<cならばγ<1ですから、


>v<cならばγ>1ですから、

に訂正させていただきます。

1ヶ月前 No.39

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>20

>角速度ωが回転系の立場から見た角速度ならば、v=rωとなる事にご注意ください。


> >>18 ( >>19 にて一部訂正)については、静止系から見た円盤の周辺部の角速度をω、静止系から見た円盤の半径をrと仮定して計算しているため、円盤の周辺部の速度はv=rωとなる事にご注意ください。

に訂正させていただきます。

1ヶ月前 No.40

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

やはり、エーレンフェストのパラドックスの解決案については、 >>18,19,20,24 をご覧ください。

1ヶ月前 No.41

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>18,19,20,24>>18,19,20,40 に訂正させていただきます。

1ヶ月前 No.42

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>4 の(8)の特殊相対性理論におけるy軸方向(z軸方向も同じ)の速度合成公式、w'=√(1-(v/c)^2)w/(1+uv/c^2)の導出法についても一応提示しておきましょう。
ローレンツ変換は、γ=1/√(1-v^2/c^2)と置くと、y'=y、t'=γ(t-vx/c^2)なんで、この逆変換はt=t'/γ+vx/c^2、y=y'となり、y/t=y'/(t'/γ+vx/c^2)=となり、 >>7 と同様、x->dx、t->dt、x'->dx'、t'->dt'とすると、dy/dt=dy'/dt'/γ+vdx/c^2)となりますが、t=t'/γ+vx/c^2だったんで、dt/dt'=1/γ=dt=dt'/γ、またx=x'/γ+vtだったんで、dx/dx'=1/γ=>dx=dx'/γ、なんで、dy/dt=dy'/dt'/(dt'/dt'γ+vdx'/γdt'c^2)=(dy'/dt')/(1/γ+vdx'/γdt'c^2)となり、 >>7 と同様、dy/dt=w'、dx'/dt'=uと見做せて、特殊相対性理論におけるy軸方向(z軸方向も同じ)の速度合成公式w'=√(1-(v/c)^2)w/(1+uv/c^2)が導出出来る事になります。

1ヶ月前 No.43

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

After all, I'd like you to check formulas in >>18,19,20,24 because I was able to solve the Ehrenfest paradox.

1ヶ月前 No.44

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

Right anchor isn't >>18,19,20,24 but >>18,19,20,40 .

1ヶ月前 No.45

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>7

>γ=√(1-v^2/c^2)


>γ=1/√(1-v^2/c^2)

に訂正させていただきます。

1ヶ月前 No.46

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

度々済みませんが、 >>7

>この逆変換はx=x'/γ+vt、t=t'/γ+vx/c^2となりますんで、x/t=(x'/γ+vt)/(t'/γ+vx/c^2)=(x'+vγt)/(t'+vγx/c^2)=(x'/t'+vγt/t')/(1+vγx/t'c^2)となり、ガリレイ変換時と同様、x->dx、t->dt、x'->dx'、t'->dt'とすると、dx/dt=(dx'/dt'+vγdt/dt')/(1+vγdx/dt'c^2)となりますが、t=t'/γ+vx/c^2だったんで、dt/dt'=1/γ、またx=x'/γ+vtだったんで、dx/dx'=1/γ=>dx=dx'/γ、


>この逆変換はx=γ(x'+vt')、t=γ(t'+vx'/c^2)となりますんで、x/t=(x'+vt')/(t'+vx'/c^2)となり、ガリレイ変換時と同様、x->dx、t->dt、x'->dx'、t'->dt'とすると、dx/dt=(dx'/dt'+vdt/dt')/(1+vdx/dt'c^2)となりますが、t=γ(t'+vx'/c^2)だったんで、dt/dt'=γ=>dt=γdt'、またx=γ(x'+vt)だったんで、dx/dx'=γ=>dx=dx'γ、

に、 >>43
>この逆変換はt=γ(t'/γ+vx/c^2、y=y'となり、y/t=y'/(t'/γ+vx/c^2)=となり、 >>7 と同様、x->dx、t->dt、x'->dx'、t'->dt'とすると、dy/dt=dy'/dt'/γ+vdx/c^2)となりますが、t=t'/γ+vx/c^2だったんで、dt/dt'=1/γ=dt=dt'/γ、またx=x'/γ+vtだったんで、dx/dx'=1/γ=>dx=dx'/γ、なんで、dy/dt=dy'/dt'/(dt'/dt'γ+vdx'/γdt'c^2)=(dy'/dt')/(1/γ+vdx'/γdt'c^2)となり、


>この逆変換はt=γ(t'+vx/c^2)、y=y'となり、y/t=y'/γ(t'+vx'/c^2)=となり、 >>7 と同様、x->dx、t->dt、x'->dx'、t'->dt'とすると、dy/dt=dy'/γ(dt'+vdx'/c^2)となりますが、t=γ(t'+vx'/c^2)だったんで、dt/dt'=γ=>dt=γdt'、またx=γ(x'+vt)だったんで、dx/dx'=γ=>dx=γdx'、なんで、dy/dt=(dy'/dt')/(γdt'/dt'+γvdx'/dt'c^2)=(dy'/dt')/γ(1+vdx'/dt'c^2)となり、

にとりあえず訂正させていただきます。

1ヶ月前 No.47

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

ローレンツ変換はx'=γ(x-vt)とt'=γ(t-vx/c^2)ですが、ローレンツ逆変換である所のx=γ(x'+vt')とt=γ(t'+vx'/c^2)を導出しておきたいと思います。

[xのローレンツ逆変換の導出]
x'=γ(x-vt)
x'/γ=x-vt
x=x'/γ+vt
x=x'/γ+v(t'/γ+vx/c^2)
x=x'/γ+vt'/γ+v^2x/c^2
x-v^2x/c^2=(x'+vt')/γ
x(1-(v/c)^2)=(x'+vt')/γ
x/γ^2=(x'+vt')/γ
x=γ(x'+vt')

[tのローレンツ逆変換の導出]
t'=γ(t-vx/c^2)
t'/γ=t-vx/c^2 //x=γ(x'+vt')を代入
t=t'/γ+v(γ(x'+vt'))/c^2
t=t'/γ+(γvx'+γv^2t')/c^2
t=t'/γ+γvx'/c^2+γt'v^2/c^2
t=t'/γ+γt'(v/c)^2+γvx'/c^2
t=γt'/γ^2+γt'(v/c)^2+γvx'/c^2
t=γ(1-(v/c)^2)t')+γt'(v/c)^2+γvx'/c^2
t=γt'-γt'(v/c)^2)+γt'(v/c)^2+γvx'/c^2
t=γt'+γvx'/c^2
t=γ(t'+vx'/c^2)

1ヶ月前 No.48

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>48

>x=x'/γ+v(t'/γ+vx/c^2)


>x=x'/γ+v(t'/γ+vx/c^2) //tのローレンツ変換t'=γ(t-vx/c^2)を変換したx=t'/γ+vx/c^2を代入

に訂正させていただきます。
尚、[tのローレンツ逆変換の導出]では、先にxのローレンツ逆変換を求めていたのでその結果を代入しましたが、上記のようにxのローレンツ変換を変形したものを代入しても最終的には同じ結果となります。

1ヶ月前 No.49

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

ボケ防止の為に、xのローレンツ逆変換を使わないでtのローレンツ逆変換の導出して見ましたが、こちらの方がすっきりしていましたね。

[tのローレンツ逆変換の導出(xのローレンツ逆変換を使わないバージョン)]
t'=γ(t-vx/c^2)
t'/γ=t-vx/c^2
t=t'/γ+v(x'/γ+vt)/c^2 //xのローレンツ変換x'=γ(x-tv)を変換したx=x'/γ+tvを代入
t=t'/γ+(vx'/γ+v^2t)/c^2
t=t'/γ+(vx'/γ)/c^2+t(v^2/c^2)
t-t(v^2/c^2)=t'/γ+(vx'/γ)/c^2
t(1-v^2/c^2)=t'/γ+(vx'/γ)/c^2
1/γ^2t=t'/γ+(vx'/γ)/c^2
t=γ(t'+vx'/c^2)

1ヶ月前 No.50

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>50

>1/γ^2t=t'/γ+(vx'/γ)/c^2


>t/γ^2=t'/γ+(vx'/γ)/c^2

に訂正させていただきます。

1ヶ月前 No.51

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

最近、ブラックホールの画像が撮影されて、ブラックホール祭りになっているようですが、ブラックホールの事象の地平面に対する私の考察については、 http://mb2.jp/_tetsugaku/650.html-117,150,151を、ホーキング放射に対する私の考察については、 http://mb2.jp/_tetsugaku/753.html-190,194,281をご覧ください。

1ヶ月前 No.52

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

http://mb2.jp/_tetsugaku/650.html-117にて、

>加速場では、dτA/dτB=1+(a/c^2)*xとなり、dτA/dτBは実数の値しか取りませんが、

と述べましたが、aがマイナス方向に増大すればdτA/dτBは虚数となるので、誤りでした。
因みに、リンドラー座標を検討すると、aがマイナスになるのは、観測点から遠ざかる方向に加速して行く場合であると考えます。

1ヶ月前 No.53

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>11-14 で加速系の計量を使用して計算した結果と、回転系の計量を使用して計算した結果が何故一致したのか考えて見ました。
その結果、 >>11-14 の考え方が誤っていた事が分かり、回転系の中心の計量をs^2=-c^2(1+(a(r=0)/c^2))dt^2+dy^2=-c^2dt^2+dy^2と置き、回転系の円周部をds'^2=-c^2(1+(ar/c^2))dt'^2と置いてa=-v^2/rとると、ds'^2=-c^2(1-(v^2/c^2)dt'^2))となり、観測者の系と比較すると、-c^2(1-(v^2/c^2)dt'^2=-c^2dt^2+dy^2となり、回転系での計算と一致する事が分かりました。
現時点では、s^2=-c^2(1+ad/c^2)dt^2+dx^2+dy^2+dz^2という加速系の計量は、系全体が均一に一定方向に加速している座標系だと考えているのですが、回転系は回転円の円周部は常に回転系の中心方向に加速しており、今回の問題を回転系の中心と回転円の円周部の任意の点の関係を加速系で置き換える為には、角速度を0にする代わりに、回転系の中心を回転円の円周部の任意の点と反対方向に同一速度で移動させ、回転系の中心を回転円の円周部の任意の点の距離を一定にする為に、回転円の円周部の任意の点の加速方向に加速させれば良いのではないかと考えて見ました。
このように考えれば、回転系での計算と一致する一方、回転系の中心で加速力が発生していないのに、その場所が加速していると見做さなければならないという矛盾が発生するのですが、特殊相対性理論では、固有時の進行速度を考える場合、この事は問題にならず、ローレンツ変換の固有時の変換式を見れば分かる様に、あくまでも2点間の相対的な位置と速度の関係だけを考慮すれば良いという事だと思いました。
尚、回転系の計量を使用した場合は、原点以外でも回転系と静止系の等時性をすっきり説明出来るのですが、加速系の計量を使用した場合は、回転円の円周部の任意の点に対して回転系の中心以外の座標を使用して計算すると、上記で説明した条件が崩れてしまう為、一筋縄では行かなくなってしまう事にご注意ください。
それと、今回の考察で >>53 の内容が全面的に誤りである事が分かったにも拘らず、私の知識不足で http://mb2.jp/_tetsugaku/650.html-117の誤りを正しく訂正出来ないでいますが、誤りを訂正できるようになったら、今度こそ誤りを正しく訂正させていただきたいと思います。

1ヶ月前 No.54

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>54

>-c^2(1-(v^2/c^2)dt'^2=-c^2dt^2+dy^2となり、


>-c^2(1-(v^2/c^2))dt'^2=-c^2dt^2+dy^2となり、

に訂正させていただきます。

1ヶ月前 No.55

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>54,55 は今見ると凄いこじつけで、

>あくまでも2点間の相対的な位置と速度の関係だけを考慮すれば良いという事だと思いました。

については論理が完全に破たんしてしまっていましたが、この内容は今のところは忘れる事にしたいと思います。

1ヶ月前 No.56

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

と思ったのですが、

>回転系の中心で加速力が発生していないのに、その場所が加速していると見做さなければならないという矛盾が発生するのですが、

という矛盾が、回転系の中心=加速系の原点と見做している為、回転系の中心と見做した位置の計量がs^2=-c^2(1+(a(r=0)/c^2))dt^2+dy^2というように慣性系の計量と一致した為に、計算結果が一致したのかもしれないですね。
取りあえず、私の精神的安定の為に、こういう事にしておきましょう・・・
という事で、 >>54
>相対性理論では、固有時の進行速度を考える場合、この事は問題にならず、ローレンツ変換の固有時の変換式を見れば分かる様に、あくまでも2点間の>相対的な位置と速度の関係だけを考慮すれば良いという事だと思いました。

というのは完全な誤りの為、全面的に撤回させていただきます。

1ヶ月前 No.57

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>58

>という矛盾が、


>という矛盾があるけれども、

に訂正させていただきます。

1ヶ月前 No.58

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

アインシュタインが「運動物体の電気力学について」で、どのようにガリレイ変換からローレンツ変換を導き出したのかと言う事を調べていたら、1/2{τ(0,0,0,t)+τ(0,0,0,t+l'/(c-v)+l'/(c+v))}=τ(l',0,0,l'/(c-v))からどうして、1/2・∂τ/∂t(l'/(c-v)+l'/(c+v))=∂τ/∂x'・l'+∂τ/∂t(l'/(c+v))という微分方程式が出て来るのか理解出来ない方がいらっしゃるのではないかと思ったので、老婆心ながら説明させていただきたいと思います。
常微分の場合、f'(x)の定義はf'(x)=(f(x+凅)-f(x))/凅ですが、f'(x)凅=f(x+凅)-f(x)なので、f(x+凅)=f(x)+f'(x)+凅という関係が成り立ちますが、これと同様な関係が偏微分でも成り立つので、例えばf(x+凅,y+凉)=f(x)+∂f/∂x・凅+f(x)+∂f/∂y・凉という関係が成り立ちます。
そして、1/2{τ(0,0,0,t)+τ(0,0,0,t+l'/(c-v)+l'/(c+v))}=τ(l',0,0,l'/(c-v))について、l'を無限小とし、yとzは全て0なので無視すると、左辺は1/2{τ(0,0,0,t)+τ(0,0,0,t)+∂τ/∂t(l'/(c-v)+l'/(c+v))となり、右辺はτ(0,0,0,t)+∂τ/∂x'・l'+∂τ/∂t(l'/(c+v))となるため、両辺からτ(0,0,0,t)を引くと、1/2・∂τ/∂t(l'/(c-v)+l'/(c+v))=∂τ/∂x'・l'+∂τ/∂t(l'/(c+v))という微分方程式が出て来る訳です。
因みに、ネットではds^2=-(cdt)^2+dx^2+dy^2+dy^2から連理方程式を立ててローレンツ変換を導くという説明を見かけますが、アインシュタインの説明の方が教育的かもしれないですね。

1ヶ月前 No.59

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

重要な事をお断りをするのを忘れましたが、

>常微分の場合、f'(x)の定義はf'(x)=(f(x+凅)-f(x))/凅ですが、f'(x)凅=f(x+凅)-f(x)なので、f(x+凅)=f(x)+f'(x)+凅という関係が成り立ちますが、これと同様な関係が偏微分でも成り立つので、例えばf(x+凅,y+凉)=f(x)+∂f/∂x・凅+f(x)+∂f/∂y・凉という関係が成り立ちます。

というのは、f'(x)や∂f/∂xや∂f/∂yが連続の場合のみ成り立つことにご注意ください。

1ヶ月前 No.60

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>59

>ds^2=-(cdt)^2+dx^2+dy^2+dy^2


>ds^2=-(cdt)^2+dx^2+dy^2+dz^2

に訂正させていただきます。

1ヶ月前 No.61

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

因みに、「運動物体の電気力学について」でのローレンツ変換の導出過程についてもう少し説明を追加すると、τ=a(t-vx'/(c^2-v^2))というのは、1/2・∂τ/∂t(l'/(c-v)+l'/(c+v))=∂τ/∂x'・l'+∂τ/∂t(l'/(c+v))を変形すると最終的には、∂τ/∂x'+v/(c^2-v^2)・∂τ/∂t=0となるのですが、この偏微分方程式の一般解はf(t-vx'/(c^2-v^2))となり、ローレンツ変換は線形変換と仮定しているため、a(t-vx'/(c^2-v^2))+bとなるのですが、b=0となる様にt=x'=0の場合にf(t-vx'/(c^2-v^2))=0となるようにして論理を展開しているため、f(t-vx'/(c^2-v^2))=a(t-vx'/(c^2-v^2))としています。
それと、y/√(c^2-v^2)=tというのは、運動系がy方向に移動している場合の光の軌跡の速度が光速になる為の要請だと思うのですが、ここでこの事を図で説明してもらえば、初学者が悩まずに済んだと思いますね。

1ヶ月前 No.62

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>62

>運動系がy方向に移動している場合の光の軌跡の速度が光速になる為の要請だと思うのですが、


>運動系がy方向に移動している場合の光の軌跡の速度が光速になる為の要請に基づいて出て来る式だと思うのですが、

に訂正させていただきますが、ξ、η、ζは、τの時間経過に伴って、原点から放出された光がxyz軸方向にそれぞれどれだけ進むのかと言う事を表しているようなので、ds=-(cdt)^2+dx^2+dy^2+dz^2を不変量にする為に、τ、ξ、η、ζがどうあるべきなのかという事を計算で示しているようにも思えますね。

1ヶ月前 No.63

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

『運動物体における電気力学』の「1.3静止系から、それに対して一様に運動する系への座標および時間の変換則」では、結局の所、τ=a(t-vx'/(c^2-v^2))のaはη=(ac/√(c^2-v^2))y=yとなると仮定し、a=√(c^2-v^2)/cとているだけのようですね。
まあ、アインシュタインとしては、計算結果がローレンツ変換と合うように計算を進めて来たけれども、η=(ac/√(c^2-v^2))y=yとするためのもっともらしい説明が見当たらなかったので、aの値の計算を敢えて行わなかったのではないでしょうか。
取りあえず、初学者の方は、「運動物体における電気力学」のガリレイ変換から出発してローレンツ変換を導き出す方法の説明については、これ以上理解しても意味が無いと思うので、別の内容の理解に励まれた方が良いのではないかと考えますが、 >>59

>どのようにガリレイ変換からローレンツ変換を導き出したのかと言う事を調べていたら、


>どのようにガリレイ変換から出発してローレンツ変換を導き出したのかと言う事を調べていたら、

に、 >>59,62
>「運動物体における電気力学」


>『運動物体における電気力学』の「1.3静止系から、それに対して一様に運動する系への座標および時間の変換則」

に訂正させていただきます。

1ヶ月前 No.64

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

最近では、既にご存知の方は多いと思いますが、相対論では、テレル回転という現象が発生する事が知られており、この現象の直感的な説明は、https://www.google.co.jp/search?q=%22Log+-+%E9%81%8B%E5%8B%95%E3%81%97%E3%81%A6%E3%82%82%E5%A4%89%E5%BD%A2%E3%81%AF%E3%81%97%E3%81%AA%E3%81%84%22をご確認いただきたいのですが、これでは物足りない方の為に、私の方からもう少し説明を加えたいと思います。

テレル回転の公式は、観測対象の観測方向と観測対象の運動方向が直交した場合にθ'=arctan((v/c)/√(1-(v/c)^2))となっていますが、光行差の公式は >>4,5 のθ'=arctan(sinθ√(1-(v/c)^2))/(cosθ+v/c)となっているので、tanθ'=sinθ√(1-(v/c)^2))/(cosθ+v/c)となり、この式のθ=π/2とすると、tanθ'=√(1-(v/c)^2)/(v/c)となり、テレル回転の公式も同様に変換すると、θ'=(v/c)/√(1-(v/c)^2)となり、テレル回転の場合の右辺の式と光行差の場合の右辺の式は、お互いに逆数となります。
そして、tan(π/2-θ)=cotθ=1/tanθですから、テレル回転は、光行差の観点から捉えると、観測対象と観測者の慣性系が相対速度vで相対運動していて、観測者の運動方向に対して垂直の方向から来た光の光行差となりますので、テレル回転は、光行差の分だけ、観測対象が回転して見える現象であるというように理解する事が出来るでしょう。

1ヶ月前 No.65

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

>>64

>aの値の計算を敢えて行わなかったのではないでしょうか。


>aの値の計算を敢えて示さなかったのではないでしょうか。

に訂正させていただきます。
それと、 >>64
>これ以上理解しても意味が無いと思うので、別の内容の理解に励まれた方が良いのではないかと考えますが、

と述べましたが、
>y/√(c^2-v^2)=tというのは、運動系がy方向に移動している場合の光の軌跡の速度が光速になる為の要請だと思うのですが、

という内容の説明を忘れてしまっていたので、説明を行わせていただきますが、その前に、上記の文言は、
>y/√(c^2-v^2)=tというのは、運動系がx方向に移動している場合にy方向の光の軌跡の速度が光速になる為の要請だと思うのですが、

に訂正させていただきます。
まず、x軸方向に相対速度vで相対運動している観測器系と観測系の二つの慣性系設定し、観測器系の空間座標を(t,x,y)とし、観測系の空間座標を(t',x',y')として、観測系の原点の場所に指向性が強いレーザー装置を置き、同じく観測系のy'=lの場所にx'軸と平行にして鏡を置きます。
観測器は観測器系の原点に設置し、レーザー装置が発光してからレーザー光が鏡に反射して観測器の受光素子で光を検出するまでの時間を計測しますが、この装置は、この時間の計測を誤差無で観測出来るものとします。
そして、観測器系と観測系のレーザー装置を発光させる時刻をt'=t=0とし、その時刻の観測器系と観測系の原点を合わせる為に、x=x'=0,y=y'=0とします。
実験系をこのように設定した場合、観測系から見ると、観測器がレーザー光を受光できるように、レーザー光をy軸方向からx軸方向に角度をずらして発光しなければならないですが、観測器系と観測系の時空図を描いてみると、この角度はπ/2-arctan(√(c^2-v^2)/v)となる事と、観測器系の光の速度ベクトルの長さが√(c^2-v^2)となる事が分かります。
相対論の場合、この事は、観測系から見て観測器系が√(c^2-v^2)だけ時間が遅れていると見做し、観測器系の光速度が遅く見えるのは、観測器系の時間の進行速度が遅い為であると見做します。
そして、観測系から見た観測器系の往路の時間tは、相対論では素直に観測器系でのレーザー光の移動距離yと観測系から見た観測器系のレーザー光の移動速度√(c^2-v^2)から、t=移動距離/移動速度=y/√(c^2-v^2)となる為、『運動物体における電気力学』の「1.3静止系から、それに対して一様に運動する系への座標および時間の変換則」を良く読むと、この結果を利用して、アインシュタインはy/√(c^2-v^2)=tを用いてaの値を決定している事がお分かり頂けると思います。

29日前 No.66

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

原子核物理学の話ですが、β崩壊について考えて http://mb2.jp/_tetsugaku/765.html-1585-1589に書いてみたのですが、いかがでしょうか?

25日前 No.67

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

エーレンフェストのパラドックスの解決を目指して記述した >>11,12,13,14,53,54 については、加速場の計量として、 >>11

>s^2=-c^2(1+ad/c^2)dt^2+dx^2+dy^2+dz^2となりますが、

としていましたが、
>s^2=-c^2(1+ad/c^2)^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2となりますが、

が正解でしたので、記述内容を全面的に撤回させていただきます。
大変申し訳ありませんでした。
尚、回転系の計量を使用して記述した、 >>18,19,20,40 については、今のところは正しいと思っていますので、ご指摘等が有れば宜しくお願いします。

25日前 No.68

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

度々済みませんが、 >>18

>ネット情報によると、回転系の計量は東海岸方式に変換すると、ds^2=-c^2(1-r^2/c^2ω^2)dt^2+2r^2ωdφdt-dr^2+r^2dφ^2+dz^2となりますが、rが固定された回転体の立場から見ると、dr=dφ=dz=0なので、ds^2=-c^2(1-r^2/c^2ω^2)dt^2となりますが、rω=vなので、ds^2=-c^2(1-c^2/v^2)dt^2となります。


>ネット情報によると、回転系の計量は東海岸方式に変換すると、ds^2=-c^2(1-r^2ω^2/c^2)dt^2+2r^2ωdφdt-dr^2+r^2dφ^2+dz^2となりますが、rが固定された回転体の立場から見ると、dr=dφ=dz=0なので、ds^2=-c^2(1-r^2ω^2/c^2)dt^2となりますが、rω=vなので、ds^2=-c^2(1-c^2/v^2)dt^2となります。

に訂正させていただきます。

25日前 No.69

凡人 ★eJER71w7mO_ebo

またまた申し訳ありませんが、 >>68

> >>11,12,13,14,53,54


> >>11,12,13,14,17,53,54

に訂正させていただきます。

24日前 No.70
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