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数学教えます。

 ( 勉強掲示板 )
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美しき数学 ★Android=T2iJWf65QS

数学の教師を目指しています。
分かる範囲でしたら解説させてください。
また、数学はとても美しく日常に溢れています。
そう言った事も話せたらなと思います。

3年前 No.0
メモ2015/03/08 22:48 : 美しき数学★Android-iK3Sq2zfkG

僕が掲示板をチェックできる時間帯が

早朝、もしくは夜中の23時以降ですので、あらかじめご了承下さい。<(_ _)>


また、図形問題や問題文が長く、投稿できない物に関しては、Twitterをフォローして頂ければ、画像を送信でき解説できますので、よければそちらの方も利用して頂ければと思います。

ページ: 1 2


 
 
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美しき数学 ★Android=iK3Sq2zfkG

K。さん>


「2つの自然数a,bについて、ある自然数q,rが存在してa=bq+rが成り立つとき、aとbの最大公約数はbとrの最大公約数に等しい。」



これはテキストとかによく乗っていることですが、そうですね。

なぜこれが成り立つのかと言うとですね・・・
ちょいとややこし証明があり、それによって成り立っている規則なんです。

つまり、既にこのことを証明されてるんですね。笑

なので「」の中の定義は証明されてるので仕方なく鵜呑みにして覚えてください笑

もし証明方法が気になるなら解説致します。


使い方は大丈夫ですかね?
7n+16は(2n+5)3+(n+1)で表せますね。

それに、ルールのa=bq+rと照らし合わせて下さい。

そうすると、

a=7n+16
b=2n+5

q=3
r=n+1

となります。
これで、〜〜のの部分は理解できたかと思います。



というわけで、これは証明された結果を使用しているので、なぜそうなるかと言うと質問の答えは「証明されているから」ですね。

数学好きな人はどうやって証明されているのかが興味深くてたまらないと思いますので、もし気になるならググって見てください笑

もしググっても無ければ動画解説させて頂きますね。



また何か分からないことが気軽に聞いてください。

3年前 No.46

K。 ★iPhone=Bwmhy1dO4t


教科書に載ってるのは覚えてます(*^^*)
ただ、参考書にもその証明がなかったので気になって……笑
でも、覚えればいいんですね!

使い方は大丈夫です^^

ありがとうございました。

3年前 No.47

K。 ★iPhone=Bwmhy1dO4t


数Vです。

問.f(x)=|x|√x+1の極値を求めよ。

解答(一部略)
**********
定義域x≧-1
x≧0の時f(x)=〜@
x>0においてf'(x)=〜A
よってx>0では常にf'(x)>0

-1≦x<0の時f(x)=〜B
-1<x<0においてf'(x)=〜C

**********

↑@何で微分する前はx≧0なのに、A微分する時はx>0で等号が書いてないんでしょうか?BとCも同じ疑問です。
x≧0においてf'(x)=〜と書くと何かダメな点があるんでしょうか?

3年前 No.48

美しき数学 ★Android=iK3Sq2zfkG

K。さん>

微分をすることでその点での接線の傾きを調べられるのはご存知だと思いますが、

f´(0)という地点はグラフの極大または極小なのでグラフの傾きはx軸に平行。

つまり、傾きはゼロなのです。

なので、増減表のf´(x)の傾きと言うのは、x=0以外の所で正か負を調べ、傾きを調べるので

「f´(0)は無視。すなわちx=0は無視。」

なので、その回答には等号が含まれていないのです。

B,Cも同様で、

X=-1の時、ルート内が0になるので、
X=-1の時、f(x)=0

なので、微分した時のx=-1も@A同様に傾きは0になるので、そこだけは無視してよい。

と言う感じですね!
数学は厳密なのでやはり領域の表し方もしっかりとしているのです。

3年前 No.49

K。 ★iPhone=Bwmhy1dO4t


一部分からないところがありました。

f(x)がx=aで極値をとるならばf'(a)=0という教科書に載ってる条件は分かるんですが、回答された“f´(0)という地点はグラフの極大または極小なのでグラフの傾きはx軸に平行”というのはいまいちピンときません。


@このグラフにおいてf'(0)という地点が極大極小をとるorどのグラフにおいてもf'(0)で極大極小をとる。
Aそれは何故ですか?

3年前 No.50

美しき数学 ★Android=iK3Sq2zfkG

K。さん>

そうですねー・・・

見直したら間違ってました。
「f´(0)の地点は、傾きがX軸に平行」
ではなく。
「f´(x)=0の地点は、傾きがX軸に平行」です。

グラフを書けば分かり易いのですが。

極大点または極小点に接する接線の線はイメージできますか?。
極大、極小以外の点では接線の傾きは必ずあるので正にしろ負にしろ傾きが存在します。

詳しく説明していきます。
接線の方程式の求め方は、微分して得た関数に、接線を求めたい座標のx座標の値(a)を代入すればその点での傾きが分かり、あとはその点の座標、つまり(a,f(a))に平行移動させればその点での接線の方程式が得られますよね。

ここで、微分して得た関数にaを代入すれば何が求待ったのかを確認しますと、

接線の「傾き」なんですね。

後はその点の座標をy=ax+bに代入し、a,bの値を確定させます。
もちろん、高校では平行移動という概念で
y-b=f´(x)(x-a)これを使用しますよね。

この公式からも分かるように、一次関数の一般式である
y=ax+bの傾きであるaに対応しているのがf´(x)なんですね。
つまり

f´(x)=a

f´(x)=傾き

なんですね。


「f´(x)は傾きの値を表す式なのです」

ということは

f´(x)を0とおくということは、傾きは0であるし、そもそも傾きが0の地点が極大極小点なので、微分してイコール0と置いてい調べているのです。


どうでしょうか。おわかりいただけましたか?。

もちろん次数が増えてもこのことは言えます。

3年前 No.51

美音 @0526 ★Android=w0jDbsyfYU

@(−2)−(−10)の答えと解説をお願い
します。
みんなに聞くと『−12』と言いますが、
問題集の答えは『8』となってます。

3年前 No.52

美しき数学 ★Android=iK3Sq2zfkG

美音さん>

答えは8です。

マイナスを借金だと思ってください

(ー2)ー(ー10)

まず、2円を借金していました。(ー2)
そこから何かを取られます。ー
何かというと、10円の借金をとってくれます。(ー10)

10円の借金をとってくれるというのはつまり、10円をくれるという事なので。

(ー2)+10となります。

後は2円を返済すれば、+8円手元に残るわけです。


日常的な考え方だと上記の考えになります。


まぁ実際には計算問題ですから、ここの正負の計算は慣れて下さいね。

+(10)=+10

+(ー10)=ー10

ー(+10)=ー10

ー(ー10)=+10

3年前 No.53

K。 ★iPhone=Bwmhy1dO4t


f'(x)=0で傾きがx軸に平行というのなら分かります(*^^*)
f'(0)で傾きがx軸に平行と書かれていたので、あれ?と思ってました。

ありがとうございました(>_<)

3年前 No.54

美音 @0526 ★Android=w0jDbsyfYU

解答ありがとうございました (´-`)

3年前 No.55

K。 ★iPhone=Bwmhy1dO4t


数Vです。

@logn>1/2+1/3+1/4+……+1/nを証明せよ。
ただし、nは2以上の自然数とする。

【証明】
自然数kに対して、k≦x≦k+1では1/x≧1/(k+1)〜

Q.何で1/k≧1/xを使わないのか。1/k≧1/xを使って証明できるのか。

A1+1/2+1/3+……+1/n>log(n+1)
ただしnは自然数

自然数kに対してk≦x≦k+1では1/k≧1/x〜

Q.何でこの時は1/x≧1/k+1を使わないのか。1/x≧1/k+1を使う時と1/k≧1/xを使う時の違いは何か。

参考書にも説明がないので分かりません(>_<)

3年前 No.56

美しき数学 ★Android=iK3Sq2zfkG

K。さん>

解説部分の続きが明確では無いので詳しくは伝えれませんが、

基本的にk,k+1のどちらを使っても
y=1/x でのk〜k+1の区分の面積の総和を考えれば証明したい数列を表す事はできます。
(単に短冊をx=k地点から左に作るか右に作るかの違い。)

では具体的に何が違うかといいますと、積分した後にできるlog(N)のNの式が変化するのです。
(lognになったりlogn+1になったり)

なので、与えられた問題の不等式に見合った結果の方を使えばいいです。

なので、回答でk+1を使ってるところをkで出来ないのかという答えについては、

「証明したい不等式の数列の方はkを使っても表すことは出来るが、結果的に出てくるlog(N)のNの式が変わってくるので、命題にあった方を使う必要がある。」

ということです。

3年前 No.57

口腔癌 @jagger60 ★uvYRgXqnGe_Q4q

>>56
@...log 2 ~ 0.69 > 0.5

ln n > 1/2 + 1/3 + .. 1/n
と仮定する

これを示すと
ln n+1 > ln n + 1/(n+1)

ln n+1 - ln n = int [n to n+1] 1/x dx

1/n+1 <= 1/x <= 1/n
全てのxに対して
(1/n+1) (n+1-1) <int [n to n+1] 1/x dx < (1/n)(n+1-n)
1/(n+1) <ln n+1 - ln n < 1/(n)

ln n+1 - ln n > 1/n+1
ln n+1 > ln n + 1/n+1
ln n+1 > 1/2 + 1/3 + 1/4 .... 1/n+1 (この仮定が真なら)
n = 2ならこの仮定は真になる。
従って、2より大きいすべての整数の場合も同様。

A...おそらく上リーマン和を1/ xの実積分と比較すればできるだろう。

3年前 No.58

口腔癌 @jagger60 ★uvYRgXqnGe_Q4q

>Q.何で1/k≧1/xを使わないのか。1/k≧1/xを使って証明できるのか。

関数が減少しているので
Σ 1 / (x + 1) ≧ ∫ 1 / (x + 1) dx

0からnまで代入する:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4... 1/n ≧ ln(n + 1)

3年前 No.59

口腔癌 @jagger60 ★uvYRgXqnGe_Q4q

1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... + 1/n > ∫°n 1/(x+1) dx = ln (n+1)
これは一片kthが高さ1 / kと幅1を持つ一片nと一致する。
曲線y=1/(X+1)を重ね合わせ、この曲線下面積は、その上に突き出る各片の右上隅を残していることが分かるだろう。

3年前 No.60

ちひろ ★iPod=zyhZOsDCXY

数学ができません!
教えてください!

3年前 No.61

ちひろ ★iPod=eiDr16z3yS

1つのサイコロを3回投げてでた目の順にa1.a2.a3とする。
a1<a2<a3となる確率を求めよ。
すべての場合6^3=210
ここまではわかるのですが、この下のがわかりません。
a1<a2<a3となる場合の数は1から6までの目より異なる3つの数字を選ぶ場合の数に等しい。
6C3=20

3年前 No.62

青カビ @jagger60 ★gBEqs2TiCU_scx

>>62
訂正 ... 6^3 = 216

3年前 No.63

★iPhone=fxyGtorLVX

高1、数Aの場合の数の問題です
問題文の意味がよくわかりません(つω・。`)

『1枚の硬貨を繰り返し投げ、表が3回または裏が3回出たところで終了する。表と裏の出方は何通りあるか。』


よろしくお願いします!!

3年前 No.64

★iPhone=XgnSR4H03i

答えは20通りでした。
解き方、考え方、問題の意味を教えてください!

3年前 No.65

青カビ @jagger60 ★gBEqs2TiCU_scx

>>65
総フリップの最大数は5だ。
フリップの最小数は3である。
3フリップ−表、表、表または裏、裏、裏
4フリップ−3つの表と1つの裏を投げるとする。
裏は4回目のフリップでなく、1、2または3回目になりえる。
4回目のフリップならゲームはすでに終わっているだろう。
3つの3つの表の扱い方と3つの3番目の裏の扱い方−合計6つの方法
5フリップ ... 3つの表と2つの裏を投げるとする。
2つの裏を出す6つの方法がある ...
2つの裏は1回目の4フリップにおいて裏が二つ出る。
4C2 = 6
そして、2つの表と3つの裏があるなら、
2+6+12 = 20

3年前 No.66

雪夏 @noyukinatu ★3DS=PEGCYVmwwL

すみません、質問です。

二項定理の意味がさっぱり理解できません。

問題は(x+y)^8←8乗を二項定理で解きなさいというものです。
お願い致します!

3年前 No.67

青カビと広瀬すず @jagger60 ★B2l6K9HLbR_scx

>>67
解くものなど何も無い。
その問題は二項定理により8乗を展開することを意味している。
x^8 + 8yx^7 + (8*7/2)y^2x^6 + (8*7*6/6)y^3x^5 + (8*7*6*5/24)y^4x^4 +
+ (8*7*6/6)x^3y^5 + (8*7/2)x^2y^6 + 8 xy^7 + y^8

= x*8 + 8yx^7 + 28y^2x^6 + 56y^3x^5 + 70y^4x^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + y^8.

3年前 No.68

青カビと広瀬すず @jagger60 ★B2l6K9HLbR_scx

>>67
解くものなど何も無い。
その問題は二項定理により8乗を展開しろと意味している。
x^8 + 8yx^7 + (8*7/2)y^2x^6 + (8*7*6/6)y^3x^5 + (8*7*6*5/24)y^4x^4 +
+ (8*7*6/6)x^3y^5 + (8*7/2)x^2y^6 + 8 xy^7 + y^8

= x*8 + 8yx^7 + 28y^2x^6 + 56y^3x^5 + 70y^4x^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + y^8.

3年前 No.69

青カビと広瀬すず @jagger60 ★B2l6K9HLbR_scx

>>68 の説明は言い間違えたから飛ばして。

3年前 No.70

青カビと広瀬すず @jagger60 ★B2l6K9HLbR_scx

二項定理は二項式の累乗の展開で項の係数を与える。
二項係数nCk = n!/[(n ― k)!k!]
(x + y)^8= 8C0 x^8+ 8C1 x^7y + 8C2 x^6y^2+ 8C3 x^5y^3+ 8C4 x^4y^4+ 8C5 x^3y^5+ 8C6 x^2y^6+ 8C7 xy^7+ 8C8 y^8=
x^8+ 8x^7y + 28x^6y^2+ 56x^5y^3+ 70x^4y^4+ 56x^3y^5+ 28x^2y^6+ 8xy^7+ y^8

3年前 No.71

雪夏 @noyukinatu ★3DS=PEGCYVmwwL

ありがとうございます!
分かりやすく、解説してくれたので、とても理解できました!

3年前 No.72

コマっちゅー ★Android=uBOZM3ktB3

高校二年の問題です。
解らないので教えて下さい!
問題。
五年前は桃子ちゃんの年齢の五倍がお父さんの年齢で、お母さんはお父さんの年齢の4分の3でした。
今年の桃子ちゃんと両親の合計は93歳です。
桃子ちゃんは今年何歳でしょうか!?

…と言う問題なんですが全然解らないので解き方も教えて下さい!
宜しくお願いしますm(_ _)m

3年前 No.73

広瀬すず @jagger60 ★B2l6K9HLbR_scx

>>73
桃子の年齢^5 = お父さんの年齢 - 5 >>> お父さんの年齢 = 桃子の年齢^5 + 5
お母さんの年齢 = お父さんの年齢 3/4 >>> お母さんの年齢 = 3/4 (桃子の年齢^5 + 5)
桃子の年齢 + お母さんの年齢 + お父さんの年齢 = 93
桃子の年齢 + 3/4 (桃子の年齢^5 + 5) + 桃子の年齢^5 + 5 = 93
桃子の年齢 + 桃子の年齢^3 3/4 + 桃子の年齢^5 = 93 - 3 3/4 - 5
桃子の年齢 = 84 1/4 / 9 3/4 = 8歳7ヶ月と21日

3年前 No.74

コマっちゅー ★Android=uBOZM3ktB3

分かりやすく教えて下さり、ありがとうございました(*^^*)

3年前 No.75

to ★ysSiNXEf3O_M0e

>73 74 75


桃子は、今年13歳です

★ポイント【5年前は、桃子も父親も母親も5歳少ない】
 これを間違えやすい

★解くと
(桃子−5)*5=父親−5 なので、
  父親=桃子*5−20 … @

(母親−5)=(3/4)(父親−5) なので、@を代入し
(母親−5)=(3/4){(桃子*5−20)−5} で、
  母親=(3/4){桃子*5−25)+5
  母親=(3/4)*桃子*5−(3/4)*25+5
  母親=桃子*(15/4)−(55/4) … A

桃子+父親+母親=93 へ@Aを代入し
桃子+(桃子*5−20)+桃子*(15/4)−(55/4)=93
桃子+桃子*5+桃子*(15/4)=93+20+(55/4)
桃子*(39/4)=507/4
桃子=13

★まとめと確認
現在【桃子13,母親35(=13*15/4−55/4),父親45(=13*5−20)】
5年前【桃子8(=13−5),母親30(=35−5),父親40(=45−5)】

●5年前は、桃子の年齢の5倍(8×5)が、父の年齢(40)
●5年前は、母の年齢(30)が、父の年齢(40)の(3/4)
●現在は、桃子の年齢(13)と父の年齢(45)と母の年齢(35)の和が(93)

3年前 No.76

to ★ysSiNXEf3O_M0e

連立方程式を用いた場合です

現在・・・・桃子x歳,父親y歳,母親z歳 とすると
5年前・・・桃子(x−5)歳,父親(y−5)歳,母親(z−5)歳 なので

五年前は桃子ちゃんの年齢の五倍がお父さんの年齢
 (x−5)=5(y−5)

五年前のお母さんの年齢はお父さんの年齢の4分の3
 (y−5)=(3/4)(y−5)

今年の桃子ちゃんと両親の合計は93歳です
 x+y+z=93

連立方程式を解いて
 x=13,y=45,z=35

3年前 No.77

広瀬すず @jagger60 ★B2l6K9HLbR_u6T

最初の式で間違えたのか。
5年前の桃子×5 = 今年の父
5年前の桃子× 5 + 5 = 今年の父
か。
そして
5年前の桃子×5 =5年前の父
5年前の母=(5年前の父)×3 / 4
今年の=5年前の桃子 + 5
今年の父=五年前の父+5
今年の母=五年前の母+5
まずはこのような式にしなければならない。

3年前 No.78

ねじ ★qbtIFCJ3W3_FyM

ここ、だいじょうぶ?
教えるならちゃんと正しく教えてあげないと。
No48 の質問に対する答えは
f(x) の微分係数 f'(a) は x を小さい方から a に近づけたときの値と
x を大きい方から a に近づけたときの値が同じになるとき定義できるので
この場合は定義できないのです。
つまりf(x)が点x=aでなめらかかどうかが問題です。

No34 そんなわけないやろ。

3年前 No.79

KUMA.y @kumary☆AJqTpu27O0. ★wxZyB27cge_SSG

数学教えますってスレタイだったから来てみたんですが小学校の中学受験の算数と間違えたみたいです。
すみません。

3年前 No.80

こうたろう ★r6KX1EOUl6_ff3

(2□+1)/n□が整数となる3以上の整数nをすべて求めよ.
理由も述べよ.

これが解けなかったら数学教師()なんてやめろよな

2年前 No.81

こうたろう ★r6KX1EOUl6_ff3

ミス

(1+2^n)/(n^2)が整数となる3以上の整数nをすべて求めよ.
理由も述べよ.

2年前 No.82

あか ★iPhone=9o1DLuAxgX

二次方程式x二乗マイナスax+5=0の解の一つが5である時aの値を求めなさい

2年前 No.83

有岡ラブ ★iPad=OIS68B4NL8

文章で伝わりくてわからなかったらごめんなさい

校庭にサッカーコートを作るために、直角を作ります
直角の作り方について、先生がこのように話しています

12mのロープを用意して、3辺が3m、4m、5mになるように
三角形を作ると、直角がつくれるよ。

上の方法で直角が作れる理由を
どのように説明したらいいですか?

11ヶ月前 No.84

Emilia*Emily @huntersoul ★iPhone=teDawcdYNi

>>84
3m:4m:5mということは3:4:5
三平方の定理が使え、3mと4mの間の角が
90度になります

11ヶ月前 No.85

有岡ラブ ★iPad=PRQ9Z3ukjo

教えてくださりありがとうございます!

11ヶ月前 No.86

Emilia*Emily @huntersoul ★iPhone=qJaLmY2fGy

>>86
いえいえ!
雑な説明ですみません…
3:4:5の三角形は頻出なので覚えておくと
いいと思います!

11ヶ月前 No.87

有岡ラブ ★Android=GBpDc8d2YG

すいません一辺が12pの正三角形の高さとなんですか?教えてください!!

10ヶ月前 No.88

地下水 ★otncK03kC4_a2e

>>82
こうたろうさんへ
(1+2^n)/n^2=mで、mが整数で3<=nのとき、
2^n=(√m×n−1)(√m×n+1)に因数分解できる。
左辺が2のn乗なので、右辺の因数は2がn個だけである。
ここで3<=nよりmは正であり、√mは正の整数なので、m=1のとき、2^n=(n-1)(n+1)で因数より、n-1もn+1も2の累乗数であり、
n=3しかないのでn=3とすると、成り立つ。
次に√mが正の整数なのは、m=4のときであるが、2^n=(2n-1)(2n+1)では左辺が奇数となり因数が合わないので成り立たない。
次に√mが正の整数なのは、m=9のときであるが、2^n=(3n-1)(3n+1)では左辺の因数が2の累乗数であるのはn=1だが、等式が成り立たない。
次に√mが正の整数なのは、m=16のときであるが、左辺が奇数となり成り立たない。
次に√mが正の整数なのは、m=25のときであるが、2^n=(5n-1)(5n+1)では左辺の因数が2の累乗数には成れない。
以下同様に解が無い。
従って、m=1のときn=3のみが解である。

5ヶ月前 No.89

地下水 ★otncK03kC4_a2e

>>83
あかさんへ
x^2-ax+5=(x-5)(x-b)=x^2-(5+b)x+5b=0とおけるので、
b=1,a=6です。

5ヶ月前 No.90

地下水 ★otncK03kC4_a2e

>>88
有岡ラブさんへ
一辺が1の正三角形の高さは、√3/2なので、これを12倍すると、答えは6√3です。
一辺が1の正三角形の、底辺の半分を見ると、底辺が1/2の直角三角形になっていて、ピタゴラスの定理から、1^2=(1/2)^2+h^2なので、h=√3/2と求まります。

5ヶ月前 No.91

地下水 ★otncK03kC4_a2e

>>48
K。さんへ
f(x)=|x|√(x+1)
f(-1)=0
f(0)=0

-1<x<0
f`(x)=(-x√(x+1))`=-√(x+1)*(3-1/(x+1))/2
f`(-2/3)=0
f(-2/3)=2√3/9で極大値。

0<x
f`(x)>0
従って、f(0)=0で極小値。

5ヶ月前 No.92

地下水 ★otncK03kC4_a2e

>>34
x<<1のとき
(1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...)=1
1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...=1/(1-x)
ここで収束範囲を誤ってx=2とすると、
1+2+4+8+16+32+...=-1
という誤った式が出てくる。

5ヶ月前 No.93

あすなろ3000 ★iPhone=NFfBjRdf77

高校数学1の範囲の集合の包含関係・相等の証明の問題についての質問です。

「A={3n-1|n∈Z}、B={6n+5|n∈Z}ならばA⊃Bを証明せよ」

というものなのですが、
x∈Bとしてx=6n+5(nは整数)
このときx=6(n+1)-1=3・2(n+1)-1
2(n+1)=mとおくとmは整数でx=3m-1
となるところまではわかったのですが、それがなぜx∈Aとなるのかが分かりません。

教科書などを見てもイマイチわからなかったので教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

4ヶ月前 No.94

地下水 ★lHRYPNADL9_a2e

>>94
n=...-2,-1,0,1,2,3...ですが、m=...-2,0,2,4,6,8,...なので、nは整数、mは偶数になるのでn⊃mなので、A⊃Bとなります。ここでx∈Bなのでx∈Aです。

4ヶ月前 No.95
ページ: 1 2

 
 
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